Question

给定下列四个函数：①f（x）=sinx；②g（x）=x12；③h（x）=lgx；④r（x）=(12)x．对于其定义域内的

Answer 1

解题思路：利用特值法，可以对①④两个函数作出判断，利用基本不等式可判断②③．

①f（x）=sinx，令x₁=0，x₂=-π，

x1+x2

2=-[π/2]，f（

x1+x2

2）=f（-[π/2]）=-1＜

f(x1)+f(x2)

2=0，故①不满足题意；

②∵g（x）=x

1

2；

∴g（

x1+x2

2）=(

x1+x2

2)

1

2，

g(x1)+g(x2)

2=

x1+

x2

2，

g（

x1+x2

2）≥

g(x1)+g(x2)

2⇔

x1+x2

2≥

x1+x2+2

x1x2

4⇔(x1−x2)2≥0，故②正确；

③∵h（x）=lgx，

∴对于其定义域内的任意x₁＞0，x₂＞0，

h（

x1+x2

2）=lg

x1+x2

2≥lg

x1x2=[1/2]lg（x₁x₂）=[1/2][h（x₁）+h（x₂）]，即③正确；

对于④，r（x）=(

1

2)x，不妨取x₁=0，x₂=2，

x1+x2

2=1，r（1）=[1/2]，[1/2][r（0）+r（2）]=[1/2]（1+[1/4]）=[5/8]，

r（1）＜[1/2][r（0）+r（2）]，故④不满足题意．

故答案为：②③．

点评：

本题考点： 正弦函数的单调性；对数函数的单调性与特殊点．

考点点评： 本题考查指数函数、对数函数、幂函数及三角函数的单调性与特值，突出考查特值法与基本不等式的应用，属于中档题．