已知：a+b+c=0，则a(1b+1c)+b(1c - 知识问答

已知：a+b+c=0，则a(1b+1c)+b(1c+1a)+c(1a+1b)+3的值是 ______．

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解题思路：根据a+b+c=0，则a+b=-c，b+c=-a，a+c=-b，然后对
a(
1
b
+
1
c
)+b(
1
c
+
1
a
)+c(
1
a
+
1
b
)+3
进行化简，然后由a³+b³+c³-3abc=（a+b+c）（a²+b²+c²-ab-ac-bc）判断出a³+b³+c³=3abc，据此可以得到答案．
若a+b+c=0，则a+b=-c，b+c=-a，a+c=-b
a(
1
b+
1
c)+b(
1
c+
1
a)+c(
1
a+
1
b)
＝a•
b+c
bc+b•
a+c
ac+c•
a+b
ab
＝a•
−a
bc+b•
−b
ac+c•
−c
ab
＝−
a3+b3+c3
abc
∵a³+b³+c³-3abc=（a+b+c）（a²+b²+c²-ab-ac-bc）
∴当a+b+c=0时，a³+b³+c³-3abc=0
∴a³+b³+c³=3abc
∴原式=-3+3=0，
故答案为0．
点评：
本题考点：立方公式；分式的化简求值．
考点点评：本题主要考查立方根的知识点，解答本题的关键是把a(1b+1c)+b(1c+1a)+c(1a+1b)+3化到最简，此题难度不大．

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