Question

已知定义域为R的函数f(x)＝a+12x+1是奇函数．

Answer 1

（1）因为f（x）为R上的奇函数，所以f（0）=0，

∴a+

1

20+1＝0，

∴a＝−

1

2…（2分）

（2）f（x）是R上的减函数．理由如下：

任取x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，f(x1)−f(x2)＝

1

2x1+1−

1

2x2+1＝

2x2−2x1

(2x1+1)(2x2+1)，

∵x₁＜x₂，∴2x1＜2x2，2x1+1＞0，2x2+1＞0

∴

2x2−2x1

(2x1+1)(2x2+1)＞0，

∴f（x₁）＞f（x₂），所以f（x）是R上的减函数．…（6分）

（3）若不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＞0恒成立，∴f（t²-2t）＞-f（2t²-k），又f（x）是R上的奇函数，所以f（t²-2t）＞f（k-2t²）…（8分）

又f（x）是R上的减函数，所以t²-2t＜k-2t²对t∈[1，2]恒成立．

即3t²-2t＜k对t∈[1，2]恒成立．…（10分）

方法一：∴k＞（3t²-2t）_max，t∈[1，2]，

设g(t)＝3t2−2t＝3(t−

1

3)−

1

3，t∈[1，2]时g（t）是t的增函数，

所以g（t）_max=g（2）=8，

所以k＞8…（12分）

方法二：g（t）=3t²-2t-k，要使3t²-2t-k＜0对t∈[1，2]恒成立，只需

g(1)＜0

g(2)＜0即可

所以