已知曲线C:x^2=-2py,点M是曲线C上的一个动点,过点M且与曲线C相切的直线l的方程为x+y+1=01,求曲线C的

1个回答

  • 答:切线x+y+1=0应该是x+y-1=0才符合图像

    1)

    x²=-2py>=0,y0

    y=-x²/(2p),y'(x)=-x/p

    点M处切线x+y-1=0

    切线斜率k=-x/p=-1

    解得:x=p

    代入切线解得:y=-x+1=-p+1

    切点M(p,-p+1)在抛物线上:

    p²=-2p(-p+1)=2p(p-1)>0

    解得:p=2

    抛物线为:x²=-4y

    2)

    设AB直线为:y-0=a(x-2),y=ax-2a

    与抛物线x²=-4y联立:

    x²=-4y=-4a(x-2)=-4ax+8a

    x²+4ax-8a=0

    根据韦达定理有:

    x1+x2=-4a

    x1x2=-8a

    判别式△=(4a)²-4×(-8a)>0

    解得:a0

    OA斜率k1=y1 / x1=-(x1) /4

    OB斜率k2=y2 / x1=-(x2) /4

    所以:k1+k2=-(x1+x2) /4=a

    所以:k1k2=x1x2/16=-a/2=-(k1+k2)/2

    所以:k1+k2+2k1k2=0