Question

设数列{an}满足：a1=3，an+l=3an，n∈N*．

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）根据条件得到数列{a_n}为等比数列，即可得到结论；

（Ⅱ）根据等差数列的定义，即可得到结论．

（Ⅰ）因为a_n+l=3a_n，又a₁=3，所以

an+1

an=3，

因此{a_n}是首项为3，公比为3的等比数列，

所以a_n=3ⁿ，a₄=3⁴，=81，S_n=

3(1−3n)

1−3＝

3

2(3n−1)，S₅=

3

2(35−1)＝363．

（Ⅱ）证明：T_n=b₁+b₂•3+b₃•3²+…+b_n•3^n-1，①

T_n-1=b₁+b₂•3+b₃•3²+…+b_n-1•3^n-2，②

T_n-T_n-1=b_n•3^n-1，

所以4T_n-3ⁿ•b_n-（4T_n-1-3^n-1•b_n-1）=4•3^n-1•b_n-3•3^n-1•b_n+•3^n-1•b_n-1

=•3^n-1•b_n+•3^n-1•b_n-1=•3^n-1•（b_n+b_n-1）=1，

所以，数列{4T_n-3ⁿ•b_n}为等差数列．

点评：

本题考点： 数列递推式；等差关系的确定．

考点点评： 本题主要考查等差数列和等比数列的判断，考查学生的计算能力．