Question

设函数y=f（x）由方程y3+xy2+x2y+6=0确定，求f（x）的极值．

Answer 1

解题思路：先求隐函数导数y'，令y'=0结合隐函数方程，求出驻点．再求二次导数y''，y''＞0则为极小值，y''＜0则为极大值．

在方程两边同时对x求导一次，得到（3y²+2xy+x²）y'+（y²+2xy）=0，（1）

即[dy/dx＝

−y2−2xy

3y2+2xy+x2]

令[dy/dx＝0及y³+xy²+x²y+6=0，得到函数唯一驻点x=1，y=-2．

在（1）式两边同时对x求导一次，得到

（（6yy'+4y+2xy'+4x）y'+（3y²+2xy+x²）y''+2y=0

把x=1，y=-2，y'（1）=0代入，得到y″(1)＝

4

9]＞0，

故函数在x=1处取得极小值y=-2．

点评：

本题考点： 求函数的极值点．

考点点评： 本题考查函数极值的求法．求函数f（x）极值先求函数导数f'（x），令f'（x）=0，找到驻点；再求二次导数f''（x），判断驻点处f''（x）的符号，若f''（x）＞0，则驻点为极小值点；若f''（x）＜0，则驻点为极大值点．