Question

等差数列的判定问题（一道）已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足an=2S(n-1)Sn（n≥2,）a1=1.求证：1

Answer 1

1.因为an=2S(n-1)Sn

an=Sn-S(n-1)

所以2S(n-1)Sn=Sn-S(n-1)

两边同时除以S(n-1)Sn

所以1/(sn) - 1/[s(n-1)] = -2

所以{1/Sn}是等差数列

2.因为1/(sn) - 1/[s(n-1)] = -2

所以1/S2-1/S1=-2

1/S3-1/S2=-2

...

1/Sn-1/S(n-1)=-2

所有相加 1/Sn-1/S1=-2(n-1)

因为a1=1

所以S1=1

1/Sn=-2n+3

Sn=1/-2n+3

S(n-1)=1/-2n+5

an=Sn-S(n-1)

=2/(3-2n)(5-2n)