如图四棱锥p-ABCD中,底面ABCD,是矩形,PA⊥底面ABCD,PA= AB=√2,点E是棱PB的 中点,证明PB⊥

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  • 方法一:

    ∵PA⊥平面ABCD,∴BC⊥PA.

    ∵ABCD是矩形,∴BC⊥AB.

    由BC⊥PA、BC⊥AB、PA∩AB=A,得:BC⊥平面PAB,而AE在平面PAB上,∴AE⊥BC.

    ∵PA=AB、PE=BE,∴AE⊥PB.

    由AE⊥BC、AE⊥PB、BC∩PB=B,得:AE⊥平面PBC.

    方法二:向量证法[这种方法比上面的方法的书写量要多一些]

    ∵PA⊥平面ABCD,∴向量AP⊥向量BC,向量AP⊥向量AB,

    ∴向量AP·向量BC=0,向量AP·向量AB=0.

    又ABCD是正方形,∴向量AB⊥向量BC,∴向量AB·向量BC=0.

    过E作EF∥BA交PA于F,作EG∥PA交AB于G.

    ∵PE=BE,∴AF=AP/2,AG=AB/2.

    由平行四边形法则,有:向量AE=向量AF+向量AG=(1/2)向量AP+(1/2)向量AB.

    又向量PB=向量AB-向量AP.

    ∴向量AE·向量PB

    =(1/2)向量AP·向量AB-(1/2)|AP|^2+(1/2)|AB|^2-(1/2)向量AB·向量AP

    =(1/2)(|AP|^2-|AB|^2)

    而AP=AB,∴向量AE·向量PB=0,∴AE⊥PB.

    向量AE·向量BC=(1/2)AP·向量BC+(1/2)向量AB·向量BC=0+0=0,∴AE⊥BC.

    由AE⊥PB、AE⊥BC、PB∩BC=B,得:AE⊥平面PBC.