Question

已知定义在R上的函数y=f(x),对任意x,y∈R,f(x)≠0,有f(x+y)=f(x)f(y)

Answer 1

1.由于f(x+y)=f(x)f(y)

所以f(x)=f(x/2+x/2)=f(x/2)f(x/2)=f(x/2)平方

所以f(x)≥0

又知道对任意x,y∈R,f(x)≠0

所以f(x)＞0

2.由于f(x+y)=f(x)f(y)

所以f(2x)=f(x+x)=f(x)f(x)=f(x)平方

又f(2x)=f(x+y+x-y)=f(x+y)f(x-y)=f(x)f(y)f(x-y)

即f(x)f(y)f(x-y)=f(x)平方

且又知道对任意x,y∈R,f(x)≠0

所以f(x-y)=f(x)/f(y)

3.由于4f(5x)=4f(2x+3x)=4f(2x)f(3x)

所以4f(5x)=f(3x)可化为4f(2x)f(3x)=f(3x)

又对任意x,y∈R,f(x)≠0

所以上式变为4f(2x)=1

即f(2x)=1/4

根据上面知道f(2x)=f(x)平方

所以有f(x)平方=1/4

所以f(x)=正负1/2

根据题意f(x)＞0

所以f(x)=1/2

又f(1)=1/2

所以x=1