Question

已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1的离心率e=2√3/3,过点A(a,0)B(0,-b)的直线到原点的距离是√

Answer 1

1）离心率e=c/a=2√3/3 => c²/a²=4/3 =>b²/a²=c²/a²-1=1/3 ①

直线l斜率为b/a,方程为y=bx/a -b 即bx-ay-ab=0

原点到直线l的距离√3/2=|0+0-ab|/√(a²+b²) ②

①②两式联立解得：a=√3,b=1,c=2

双曲线方程为x²/3 - y² =1

（2）设直线m方程为y=kx-1,与双曲线方程联立得：(3k²-1)x²-6kx+6=0

由韦达定理可知：x1+x2=6k/(3k²-1),x1x2=6/(3k²-1)

y1y2=(kx1-1)(kx2-1)=k²x1x2-k(x1+x2)+1=6k²/(3k²-1)-6k²/(3k²-1) +1=1

(向量OM)·（向量ON)= -23=x1x2+y1y2=6/(3k²-1) +1

解得k=±1/2

所以直线m方程为y=1/2x-1或y=-1/2x-1