Question

各项均为正数的数列{an}的前n项和sn，函数f(x)=12px2-(p+q)x+qlnx．（其中p，q均为常数，且p＞

Answer 1

解题思路：（1）先对函数f（x）进行求导，令其导数为0求得x，进而根据x变化时f'（x）和f（x）的变化情况确定函数f（x）的极小值．求得a₁．

（2）依题意可知y=

2p

x

2

-

q

x

+f'（x）+q=2px²+px-p，进而把点（a_n，2s_n）代入求得2S_n=2a_n²+a_n-1，进而利用a_n=s_n-s_n-1，求得数列的递推式，整理求得a_n-a_n-1-[1/2]=0推断出数列为等差数列，利用等差数列通项公式求得a_n．

（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f'（x）=px-（p+q）+[q/x]=

(x-1)(px-q)

x

令f'（x）=0，得x=1或x=[q/p]，

∵0＜

q

p＜1

当x变化时，f'（x）和f（x）的变化情况如下表：

所以f（x）处取得极小值，即a₁=1．

（2）依题意，y=2px2-

q

x+f'（x）+q=2px²+px-p，2S_n=2p•a_n²+p•a_n-p，

所以2a₁=2pa₁²+pa₁-p，由a₁=1求得p=1

∴2S_n=2a_n²+a_n-1

当n≥2时，2S_n-1=2a_n-1²+a_n-1-1

两式相减求得（a_n+a_n+1）（a_n-a_n-1-[1/2]）=0，

∵a_n+a_n+1＞0，∴a_n-a_n-1-[1/2]=0

∴数列{a_n}是以1为首项，[1/2]为公差的等差数列，

∴a_n=1+（n-1）×[1/2]=[n+1/2]

点评：

本题考点： 数列与函数的综合．

考点点评： 本题主要考查了数列与函数的综合，涉及了函数的导数求极值，数列递推式求通项公式等．考查了考试综合分析问题和解决问题的能力．