Question

函数f（x）=cos3x+sin2x-cosx，在[0，2π）上的最大值为（　　）

Answer 1

解题思路：令cosx=t，由 x∈[0，2π），可得-1≤t≤1，f（x）=g（t）=（1-t²） （1-t），再利用导数研究函数的单调性，由函数的单调性求得函数的最值．

函数f（x）=cos³x+sin²x-cosx=cos³x+1-cos²x-cosx=（1-cos²x） （1-cosx）．

令 cosx=t，∵x∈[0，2π），可得-1≤t≤1，f（x）=g（t）=（1-t²） （1-t），

∴g′（t）=3t²-2t-1．

令g′（t）=0，求得t=1，或t=-[1/3]．

再根据导数的符号可得g（t）的增区间为[-1，-[1/3]]，减区间为（-[1/3] 1]．

故当t=-[1/3]时，函数g（t）取得最大值为 [32/27]，

故选：D．

点评：

本题考点： 三角函数的最值．

考点点评： 本题主要考查利用导数研究函数的单调性，由函数的单调性求函数的最值，属于基础题．