Question

已知各项为正的数列{an}中，a1=1，a2=2，log2an+1+log2an=n（n∈N*），则a1+a2+…+a2

Answer 1

解题思路：根据对数的运算性质，结合题意算出a_n+1a_n=2ⁿ，从而证出{a_n}的奇数项、偶数项分别构成以2为公比的等比数列，由此结合等比数列的求和公式即可算出所求式子的值．

∵log₂a_n+1+log₂a_n=n

∴log₂（a_n+1a_n）=n=log₂2ⁿ，可得a_n+1a_n=2ⁿ

由此可得a_n+1a_n+2=2ⁿ⁺¹，得

an+2

an＝2

∴a₁、a₃、…a₂₀₁₃和a₂、a₄、…、a₂₀₁₂分别构成以2为公比的等比数列

则a₁+a₃+…+a₂₀₁₃=

1−21007

1−2=2¹⁰⁰⁷-1；a₂+a₄+…+a₂₀₁₂=

2(1−21006)

1−2=2¹⁰⁰⁷-2

∴a₁+a₂+…+a₂₀₁₃-2¹⁰⁰⁸

=（2¹⁰⁰⁷-1）+（2¹⁰⁰⁷-2）-2¹⁰⁰⁸=2•2¹⁰⁰⁷-3-2¹⁰⁰⁸=2¹⁰⁰⁸-3-2¹⁰⁰⁸=-3

故答案为：-3

点评：

本题考点： 数列递推式；数列的求和．

考点点评： 本题给出各项为正的数列{an}满足的等式，求它的前2013项之和．着重考查了等比数列的通项与求和公式、对数的运算性质和数列递推式的理解等知识，属于中档题．