Question

物体在相对论下的正交速度合成能否超过光速?

Answer 1

在相对论中,速度变换不只参照系运动方向,正交方向也有,因为正交方向位移不变,但时间变换了,所以速度也就变化了.如下：

设S’系相对S系沿x轴正向以速度v运动,一物体相对S(S')系以速度V(V')运动,则V与V'之间的速度变换关系与v和c有关,如下

V'(x')=[V(x)-v]/[1-vV(x)/c^2],

V'(y')=V(y)√(1-v^2/c^2)/[1-vV(x)/c^2],

V'(z')=V(z)√(1-v^2/c^2)/[1-vV(x)/c^2]；

V(x)=[V'(x')+v]/[1+vV'(x')/c^2],

V(y)=V'(y')√(1-v^2/c^2)/[1+vV'(x')/c^2],

V(z)=V'(z')√(1-v^2/c^2)/[1+vV'(x')/c^2].

在楼主出的问题中,可设小车为S’系,地面为S系,则小车相对地面的速度沿x轴正向为

v =（√2）/2 c

小球在小车S’系的速度分量记为

V'(x')=0

V'(y')=（√2）/2 c

V'(y')=0

则小球在地面S系的速度分量为

V(x)=[V'(x')+v]/[1+vV'(x')/c^2]= v =（√2）/2 c ,

V(y)=V'(y')√(1-v^2/c^2)/[1+vV'(x')/c^2]= c/2 ,

V(z)=V'(z')√(1-v^2/c^2)/[1+vV'(x')/c^2]= 0 .

于是小球在地面S系的合成速度为

V=√[V(x)^2 + V(y)^2 + V(z)^2]=c√[1/2 + 1/4 + 0]= c(√3)/2

仍小于光速.

这可以通过对洛伦茨坐标变换公式进行微分得到.

因为

x’=(x-vt)/√(1-v^2/c^2),y’=y,z’=z,t’=(t-vx/c^2)/√(1-v^2/c^2);

x=(x’+vt’)/√(1-v^2/c^2),y=y’,z=z’,t=(t’+vx’/c^2)/√(1-v^2/c^2);

所以

V’(x’)=dx’/dt’=[(dx-vdt)/√(1-v^2/c^2)]/[(dt-vdx/c^2)/√(1-v^2/c^2)]=[V(x)-v]/[1-vV(x)/c^2],

V’(y’)=dy’/dt’=dy/[(dt-vdx/c^2)/√(1-v^2/c^2)]=V(y)√(1-v^2/c^2)/[1-vV(x)/c^2],

V’(z’)=dz’/dt’=dz/[(dt-vdx/c^2)/√(1-v^2/c^2)]=V(z)√(1-v^2/c^2)/[1-vV(x)/c^2]；

V(x)=dx/dt=[(dx’+vdt’)/√(1-v^2/c^2)]/[(dt’+vdx’/c^2)/√(1-v^2/c^2)]=[V’(x’)+v]/[1+vV’(x’)/c^2],

V(y)=dy/dt=dy’/[(dt’+vdx’/c^2)/√(1-v^2/c^2)]=V(y’)√(1-v^2/c^2)/[1+vV’(x’)/c^2],

V(z)=dz/dt=dz’/[(dt’+vdx’/c^2)/√(1-v^2/c^2)]=V(z’)√(1-v^2/c^2)/[1+vV’(x’)/c^2].