Question

设O为坐标原点，抛物线y2=2x与过焦点的直线交于A、B两点，则kOA•kOB=______．

Answer 1

解题思路：先看当直线与x轴不垂直时设出直线方程代入抛物线方程消去y，设出A，B点坐标根据韦达定理求得y₁•y₂的值，进而代入k_OA•k_OB中求得答案；再看直线与x轴垂直时把x=[1/2]代入抛物线方程求得A，B点的坐标代入两直线的斜率的乘积答案可得．

当直线与x轴不垂直时设直线l：y=k（x-[1/2]），

代入y²=2x，得：ky²-2y-1=0

设A（

y21

2，y₁），B（

y21

2x₂，y₂）

∴y₁•y₂=-1

∴k_OA•k_OB=

y1

y21

2•

y2

y22

2=[4

y1 y2=-4

当直线与x轴垂直时，x=

1/2]，y=±1

∴k_OA•k_OB=[1

1/2]×[−1

1/2]=-4

故答案为-4

点评：

本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；直线的斜率．

考点点评： 本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系，当直线与圆锥曲线相交时涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求．