Question

如图，已知三棱锥A-BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB中点，D为PB中点，且△PMB为正三角形．

Answer 1

（1）证明：∵M为AB中点，D为PB中点，

∴MD∥AP．

又∵MD⊄平面APC，

∴DM∥平面APC．

（2）证明：∵△PMB为正三角形，且D为PB中点，

∴MD⊥PB．

又由（1）知，MD∥AP．∴AP⊥PB．

又已知AP⊥PC，

∴AP⊥平面PBC．

∴AP⊥BC．

又∵AC⊥BC，

∴BC⊥平面APC．

∴平面ABC⊥平面PAC．

（3）∵BC=PC=4，设PB=PM=BM=a，则PB=2a，

由题意知

4a2−16＝AC2

AC2−16＝AP2

AP2+a2＝4a2，

解得a=4

2，

以D为原点，DB、DC、DM为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

则A（-2

2，0，4

6），B（2

2，0），C（0，2

2，0），

∴