Question

已知数列{a n }的前n项和为s n ，且a 1 =1，na n+1 =（n+2）s n （n∈N * ）

Answer 1

（1）证明：将a _n+1=S _n+1-S _n代入已知na _n+1=（n+2）S _n；

整理得

s n+1

n+1 =2•

s n

n （n∈N ^•）．

又由已知

s 1

1 =1，

所以数列{

s n

n }是首项为1，公比为2的等比数列．

（2）由（1）的结论可得

s n

n =2 ^n-1，∴Sn=n•2 ^n-1

当n≥2时，

a _n=S _n-S _n-1=n•2 ^n-1-（n-1）•2 ^n-2=（n+1）•2 ^n-2

由已知，a ₁=1，又当n=1时，（n+1）•2 ^n-2=1，

∴a _n=（n+1）•2 ^n-1（n∈N ^*）．

（3）由

b n+1

n+1 =

b n + s n

n （n∈N ^*）．

得

b n+1

n+1 =

b n

n + 2 ^n-1，

由此式可得

b n

n =

b n-1

n-1 + 2 n-2 ，

b n-1

n-1 =

b n-2

n-2 + 2 n-3 ，

…

b 3

3 =

b 2

2 + 2 1 ，

b 2

2 =

b 1

1 + 2 0

把以上各等式相加得，

b n

n = b 1 +2+ 2 2 +…+ 2 n-2 = 2 n-1 -

1

2 （n∈N ^*，n≥2）．

所以b _n= n 2 n-1 -

1

2 n （n∈N ^*，n≥2）．

当n=1时也符合，所以b _n= n 2 n-1 -

1

2 n ．