Question

（2010•广州模拟）直线y=kx+b与圆x2+y2=4交于A、B两点，记△AOB的面积为S（其中O为坐标原点）．

Answer 1

解题思路：（1）通过k=0，求出直线方程，设出A，B坐标，求出|AB|，写出面积的表达式，利用基本不等式求S的最大值；

（2）当b=2，S=1时，设圆心O到直线y=kx+2的距离为d，求出面积的表达式，得到k²-4|k|+1=0，然后求实数k的值．

（1）当k=0时，直线方程为y=b，

设点A的坐标为（x₁，b），点B的坐标为（x₂，b），

由x²+b²=4，解得x1，2＝±

4−b2，

所以|AB|＝|x2−x1|＝2

4−b2．

所以S＝

1

2•|AB|•b=b

4−b2≤

b2+4−b2

2＝2．

当且仅当b＝

4−b2，即b＝

2时，S取得最大值2．

（2）设圆心O到直线y=kx+2的距离为d，则d＝

2

k2+1．

因为圆的半径为R=2，

所以

|AB|

2＝

点评：

本题考点： 直线和圆的方程的应用；点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系．

考点点评： 本题考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离，三角形面积公式的应用，考查函数与方程的思想，计算能力．