设数列{bn}的前n项和为Sn，且bn=2-2Sn - 知识问答

设数列{bn}的前n项和为Sn，且bn=2-2Sn；数列{an}为等差数列，且a5=14，a7=20．

1个回答

解题思路：（1）由题设条件知
b
1
＝
2
3
．
b
2
＝
2
9
，b_n=2-2S_n，b_n-b_n-1=-2（S_n-S_n-1）=-2b_n．
b
n
b
n−1
＝
1
3
，由此可求出数列{b_n}的通项公式．
（2）数列{a_n}为等差数列，公差
d＝
1
2
(
a
7
−
a
5
)＝3
，可得a_n=3n-1．从而
c
n
＝
a
n
•
b
n
＝2(3n−1)•
1
3
n
，由此能证明数列{c_n}的前n项和
T
n
＜
7
2
．
（1）由b_n=2-2S_n，令n=1，则b₁=2-2S₁，又S₁=b₁，
所以b1＝
2
3．b₂=2-2（b₁+b₂），则b2＝
2
9．
当n≥2时，由b_n=2-2S_n，可得b_n-b_n-1=-2（S_n-S_n-1）=-2b_n．即
bn
bn−1＝
1
3．
所以{b_n}是以b1＝
2
3为首项，[1/3]为公比的等比数列，于是bn＝2•
1
3n．
（2）数列{a_n}为等差数列，公差d＝
1
2(a7−a5)＝3，可得a_n=3n-1．
从而c_n=a_n•b_n=2（3n-1）•[1
3n
∴Tn＝2[2•
1/3+5•
1
32+8•
1
33+…+(3n−1)•
1
3n]=
7
2−
7
2•
1
3n−
n
3n−1＜
7
2]．
点评：
本题考点：等差数列与等比数列的综合．
考点点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的灵活运用．

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