如图(1),在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,∠ABC的平分线BE交AC于E.

1个回答

  • 解题思路:(1)根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC=∠C=72°,再根据角平分线的定义求出∠ABE=∠CBE=36°,然后求出∠BEC=72°,从而得到∠ABE=∠A,∠BEC=∠C,再根据等角对等边证明即可;

    (2)求出AE=AF,再根据旋转的性质可得∠E′AC=∠F′AB,AE′=AF′,然后利用“边角边”证明△CAE′和△BAF′全等,根据全等三角形对应边相等证明即可;

    (3)把△AEF绕点A逆时针旋转AE′与过点C与AB平行的直线相交于M、N,然后分两种情况,根据等腰梯形的性质和等腰三角形的性质分别求解即可.

    (1)证明:∵∠A=36°,AB=AC,

    ∴∠ABC=∠C=[1/2](180°-36°)=72°,

    ∵BE平分∠ABC,

    ∴∠ABE=∠CBE=[1/2]×72°=36°,

    ∴∠BEC=∠A+∠ABE=36°+36°=72°,

    ∴∠ABE=∠A,∠BEC=∠C,

    ∴AE=BE,BE=BC,

    ∴AE=BC;

    (2)证明:∵AB=AC,EF∥BC,

    ∴AE=AF,

    由旋转的性质得,∠E′AC=∠F′AB,AE′=AF′,

    在△CAE′和△BAF′中,

    AE′=AF′

    ∠E′AC=∠F′AB

    AB=AC,

    ∴△CAE′≌△BAF′(SAS),

    ∴CE′=BF′;

    (3)存在CE′∥AB.

    由(1)可知AE=BC,

    所以,在△AEF绕点A逆时针旋转过程中,点E经过的路径(圆弧)与过点C且与AB平行的直线l相交于点M、N,如图,

    ①当点E的像E′与点M重合时,四边形ABCM是等腰梯形,

    所以,∠BAM=∠ABC=72°,

    又∵∠BAC=36°,

    ∴α=∠CAM=36°;

    ②当点E的像E′与点N重合时,

    ∵CE′∥AB,

    ∴∠AMN=∠BAM=72°,

    ∵AM=AN,

    ∴∠ANM=∠AMN=72°,

    ∴∠MAN=180°-72°×2=36°,

    ∴α=∠CAN=∠CAM+∠MAN=36°+36°=72°,

    综上所述,当旋转角为36°或72°时,CE′∥AB.

    故答案为:36°或72°.

    点评:

    本题考点: 旋转的性质;等腰三角形的判定与性质.

    考点点评: 本题考查了旋转的性质,等腰三角形的判定与性质,(1)利用角的度数相等得到相等的角是解题的关键,(3)从圆弧的角度考虑求解是解题的关键,难点在于分情况讨论.