Question

在正方体ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中，棱长为1，E，F分别为棱BB 1 和DD 1 的中点．

Answer 1

（1）∵E，F分别为棱BB ₁和DD ₁的中点，∴FD ∥ B ₁E，FD=B ₁E，

∴四边形FDEB ₁为平行四边形，∴DF ∥ FB ₁，DF⊂平面ADE，FB ₁⊄平面ADE，

∴FB ₁∥ 平面ADE，

又AD ∥ B ₁C ₁，AD⊂平面ADE，B ₁C ₁⊄平面ADE，∴B ₁C ₁∥ 平面ADE，

又FB ₁∩B ₁C ₁=B ₁，∴平面B ₁FC ₁∥ 平面ADE；

（2）连接EF、AF、A ₁F，A ₁E，

∴ V A 1 -AEF = V E -A 1 AF =

1

3 ×

1

2 ×AA ₁×AD×AB=

1

6 ×1×1×1=

1

6 ；

（3）∵AH=

1

2 ，动点H在底面ABCD内，∴点H的轨迹为

1

4 圆弧，

过G作GM⊥CD，垂足为M，∵MH≥MA-AH=

(

3

4 ) 2 +1 2 -

1

2 =

3

4 ，

又GH=

GH 2 +MH 2 ≥

1 2 +(

3

4 ) 2 =

5

4 ．

∴GH长度的最小值为

5

4 ．

1年前

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