Question

（2010•潍坊）如图，已知正方形OABC在直角坐标系xOy中，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点O在坐标原点．等腰

Answer 1

解题思路：（1）根据旋转的性质找到相等的线段，根据SAS定理证明；

（2）由于△OEF是等腰Rt△，若OE∥CF，那么CF必与OF垂直；在旋转过程中，E、F的轨迹是以O为圆心，OE（或OF）长为半径的圆，若CF⊥OF，那么CF必为⊙O的切线，且切点为F；可过C作⊙O的切线，那么这两个切点都符合F点的要求，因此对应的E点也有两个；在Rt△OFC中，OF=2，OC=OA=4，可证得∠FCO=30°，即∠EOC=30°，已知了OE的长，通过解直角三角形，不难得到E点的坐标，由此得解．

（1）证明：

∵四边形OABC为正方形，∴OC=OA．

∵三角板OEF是等腰直角三角形，∴OE₁=OF₁．

又三角板OEF绕O点逆时针旋转至OE₁F₁的位置时，∠AOE₁=∠COF₁，

∴△OAE₁≌△OCF₁． （3分）

（2）存在． （4分）

∵OE⊥OF，

∴过点F与OE平行的直线有且只有一条，并与OF垂直，

当三角板OEF绕O点逆时针旋转一周时，

则点F在以O为圆心，以OF为半径的圆上． （5分）

∴过点F与OF垂直的直线必是圆O的切线．

又点C是圆O外一点，过点C与圆O相切的直线有且只有2条，不妨设为CF₁和CF₂，

此时，E点分别在E₁点和E₂点，满足CF₁∥OE₁，CF₂∥OE₂． （7分）

当切点F₁在第二象限时，点E₁在第一象限．

在直角三角形CF₁O中，OC=4，OF₁=2，

cos∠COF₁=

OF1

OC=[1/2]，

∴∠COF₁=60°，∴∠AOE₁=60°．

∴点E₁的横坐标为：x_E1=2cos60°=1，

点E₁的纵坐标为：y_E1=2sin60°=

3，

∴点E₁的坐标为（1，

3）；（9分）

当切点F₂在第一象限时，点E₂在第四象限．

同理可求：点E₂的坐标为（1，-

3）．（10分）

综上所述，三角板OEF绕O点逆时针旋转一周，存在两个位置，使得OE∥CF，

此时点E的坐标为E₁（1，

3）或E₂（1，-

3）．（11分）

点评：

本题考点： 旋转的性质；直角三角形全等的判定；切线的判定；解直角三角形．

考点点评： 本题考查了图形的旋转变化、全等三角形的判定和性质、切线的判定以及解直角三角形等重要知识．能够联系圆的相关知识来解答（3）题是此题的一个难点．