Question

已知a∈R且a≠1，求函数f(x)＝ax+1x+1在[1，4]上的最值．

Answer 1

解题思路：先利用定义判断函数的单调性，然后根据单调性求函数的最值．

任取x₁，x₂∈[1，4]，且x₁＜x₂，

则f(x1)−f(x2)＝

ax1+1

x1+1−

ax2+1

x2+1=

(x1−x2)(a−1)

(x1+1)(x2+1)，

∵x₁-x₂＜0，（x₁+1）（x₂+1）＞0，又a∈R且a≠1，

所以，当a＞1时，a-1＞0，f（x₁）-f（x₂）＜0，f（x₁）＜f（x₂），

函数f（x）在[1，4]上是增函数，

最大值为f(4)＝

4a+1

5，最小值为f(1)＝

a+1

2．

当a＜1时，a-1＜0，f（x₁）-f（x₂）＞0，f（x₁）＞f（x₂），

函数f（x）在[1，4]上是减函数，

最大值为f(1)＝

a+1

2，最小值为f(4)＝

4a+1

5．

点评：

本题考点： 函数单调性的性质．

考点点评： 本题考查函数的单调性及其应用，考查分类讨论思想，考查学生分析解决问题的能力．