解题思路：（1）已知A、B、C三点的坐标，利用待定系数法能确定直线AC与抛物线的解析式．
（2）首先表示出BP、BD、OD、OE四边的长，若四边形DEFP为矩形，那么必须满足的条件是∠PDE是直角，此时△PBD、△DOE相似，可据此求出t的值，在求出BP的长以及点P的坐标后，利用待定系数法即可求出直线PQ的解析式（直线PQ与直线AC平行，那么它们的斜率相同，在设直线解析式时可利用这个特点）．
（3）方法同（2），不过由四边形DEFP为正方形得出的条件变为△PBD、△DOE全等，首先由BD=OE求出t的值，再由OD=BP求出a的值；进一步能得到DP、DE的长，由此求得正方形的面积．
（4）此题需要注意两方面：
①线段MN是底边（此时线段MN的长是点M纵坐标的2倍）；②线段MN为腰（此时线段MN的长等于点M的纵坐标）；
解法大致相同，首先设出点M或N的纵坐标，利用△CMN、△CAO相似，求出这个纵坐标，再利用直线OC、直线AC解析式确定出点M、N的坐标后，即可得到点P的坐标．
（1）设直线AC的解析式为：y=kx+b，依题意，有：
8k+b＝0
5k+b＝4，解得
k＝−
4
3
b＝
32
3
∴直线AC：y=-[4/3]x+[32/3]．
设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c，依题意，有：
64a+8b+c＝0
c＝4
25a+5b+c＝4，解得
a＝−
1
6
b＝
5
6
c＝4
∴抛物线：y=-[1/6]x2+[5/6]x+c．
（2）过点B作BS∥AC，交x轴于点S，则AS=BC=5，OR=3，∴tan∠OBS=tan∠ODE=[3/4]．
BP=BC-CP=5-at=5-t，BD=t，OD=OB-BD=4-t，OE=[3/4]OD=3-[3/4]t；
由题意，四边形DEFP是平行四边形，若四边形DEFP是矩形，所以∠PDE=90°；
∵∠PDB=∠DEO=90°-∠ODE，∠PBD=∠DOE=90°，
∴△PBD∽△DOE，得 [BP/BD＝
OD
OE]
即：[5−t/t]=[4/3]，解得 t=[15/7]，则P（[20/7]，4）；
由于直线PQ∥AC，设直线PQ：y=-[4/3]x+b，代入点P，得：
-[4/3]×[20/7]+b=4，解得 b=[161/21]
∴若a=1，当t=[15/7]时，四边形DEFP为矩形；此时直线PQ的解析式：y=-[4/3]x+[161/21]．
（3）同（2）可求得：△PBD≌△DOE，则 BD=OE，BP=OD；
∴
t＝3−
3
4t
5−at＝4−t，解得
t＝
12
7
a＝
19
12
由题意，此时a的值不在0＜a≤1.25的范围内，所以不存在符合条件的a、t值．
（4）易求得：直线OC：y=[4/5]x；直线AC：y=-[4/3]x+[32/3]．
设点M、N的纵坐标为m，分两种情况讨论：
（Ⅰ）线段MN为等腰Rt△MNR的底边，则 MN=2m；
由MN∥OA，得：[2m/8]=[4−m/4]，解得 m=2；
∴M（[13/2]，2）、N（[5/2]，2）
∴点R（[9/2]，0）．
（Ⅱ）线段MN为等腰Rt△MNR的腰，则 MN=m；
由MN∥OA，得：[m/8]=[4−m/4]，解得 m=[8/3]
∴M（6，[8/3]）、N（[10/3]，[8/3]）
①当点N是直角顶点时，NR⊥x轴，点R（[10/3]，0）；
②当点M是直角顶点时，MR⊥x轴，点R（6，0）；
综上，存在符合条件的点R，且坐标为（[9/2]，0）、（[10/3]，0）、（6，0）．
点评：
本题考点： 二次函数综合题．
考点点评： 此题考查的是动点函数问题，主要涉及了利用待定系数法确定函数解析式、矩形和正方形的性质以及等腰直角三角形的判定和性质；其中还穿插了全等、相似三角形的性质以及解直角三角形的应用；综合性很强．在解答这道题时，对图示的理解很重要，着重体现了数形结合的重要性．