解题思路:(1)△BMP中,BM的长易求得,关键是求BM边上的高;过P作PE⊥BC于E,易证得△BPE∽△BAC,通过相似三角形得出的成比例线段可求出PE的长,进而可求出h、x的函数关系式;
(2)所求的两个三角形中,已知∠MPD=∠ACB=90°,若使两三角形相似要分两种情况进行讨论;
一、D在BC上时:
①∠PMB=∠B,此时PM=BM,MH=BE=2,可根据相似三角形得出的成比例线段求出x的值;②∠PMB=∠A,此时△BPM∽△BCA,同①可求得x的值;
二、D在BC延长线上时:
由于∠PMD>∠B,因此只有一种情况:∠PMD=∠BAC;当P、A重合时,易证得∠MAC=∠PDM,由于tan∠MAC=[2/3]<tan∠B,所有∠MAC<∠B,即当D在BC延长线上时,∠PDM总小于∠B,所有△PDM和△ABC不会相似;综合两种情况,可得出符合条件的x的值.
(1)过P作PE⊥BC于H,
则PE∥AC;
Rt△ABC中,AC=6,BC=8;
则AB=10.
∵P为AB上动点可与A、B重合(与A重合BP为0,与B重合BP为10)
但是x不能等于5.
∵当x=5时,P为AB中点,PM∥AC,得到PD∥BC,PD与BC无交点,与题目已知矛盾,所以x的取值范围是,0<x<10 且x≠5,
易知△BPE∽△BAC,得:[PE/AC=
BP
AB],PE=[AC•BP/AB]=[3/5]x,
∴h=[3/5]x;
(2)当D在BC上时,
①∠PMB=∠B时,BP=PM,ME=BE=2;
MP=x,AB=10,ME=2,BC=8,
此时△MPD∽△BCA,
∴△MPD∽△MEP,
∴△MEP∽△BCA,
∴[MP/AB=
ME
BC],
即[x/10=
2
8],解得x=[5/2],
②∠PMB=∠A时,△DPM∽△BCA,得:[DP/BC=
DM
BA],
即DP•BA=DM•BC;
∴10x=4×8,解得x=[16/5],;
当D在BC延长线上时,
由于∠PMD>∠B,所以只讨论∠PDM=∠B的情况;
当P、A重合时,Rt△MPD中,AC⊥MD,则∠MAC=∠PDM,
∵tan∠MAC=[2/3],tanB=[3/4],tan∠MAC<tanB,
∴∠MAC<∠B,即∠PDM<∠B;
由于当P、A重合时,∠PDM最大,故当D在BC延长线上时,∠B>∠PDM;
所以△PDM和△ACB不可能相似;
综上所述,存在符合条件的P点,且x=2.5或3.2.
点评:
本题考点: 相似三角形的判定与性质.
考点点评: 此题主要考查了相似三角形的判定和性质,需注意的是(2)题中,虽然当D在BC延长线上的情况不成立,但是一定要将这种情况考虑到,以免漏解.