Question

如图，⊙O的弦AB、CD交于点P，AB=CD．求证：OP平分∠BPD．

Answer 1

解题思路：连接OB、OD，过O作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，求出BM=DN，根据勾股定理求出OM=ON，根据角平分线性质求出即可．

证明：

连接OB、OD，过O作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，

则由垂径定理得：BM=[1/2]AB，DN=[1/2]CD，

∵AB=CD，

∴BM=DN，

由勾股定理得：OM²=OB²-BM²，ON²=OD²-DN²，

∵OB=OD，BM=DN，

∴OM=ON，

∵OM⊥AB，ON⊥CD，

∴OP平分∠BPD．

点评：

本题考点： 垂径定理；角平分线的性质；勾股定理．

考点点评： 本题考查了垂径定理，勾股定理，角平分线性质的应用，注意：到角两边距离相等的点在角的平分线上．