Question

极限除法运算证明极限除法运算的证明

Answer 1

设limf(x)=A,limg(x)=B(B≠0),（x→x0)求证limf(x)/g(x)=A/B

证明：只要证明f(x)/g(x)-A/B是无穷小即可.

由于limf(x)=A,limg(x)=B,可设f(x)=A+a,g(x)=B+b,其中a和b是x→x0时的无穷小

f(x)/g(x)-A/B=(A+a)/(B+b)-A/B=(Bb-Aa)/[B(B+b)]

因为a,b是无穷小,A,B是常数,所以Bb-Aa是无穷小,因此只要证明1/B(B+b)有界.

因为limg(x)=B≠0,所以存在点x0的某个去心邻域U(x0),当x∈U(x0)时,

│g(x)│>│B│/2,所以1/│B(B+b)│=1/(│B│*│g(x)│)