在Rt△ POA 中,因为 AP =
, AO =1,所以 OP =1,
在Rt△ PBO 中,tan∠ PBO =
所以异面直线 PB 与 CD 所成的角是
.
(Ⅲ)假设存在点Q,使得它到平面PCD的距离为
.
设 QD = x ,则
,由(Ⅱ)得 CD = OB =
,
在Rt△ POC 中,
所以 PC = CD = DP ,
由 V p-DQC=V Q-PCD, 得
2,所以存在点 Q 满足题意,此时
.
解法二:(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)以 O 为坐标原点,
的方向分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正方向,建
立空间直角坐标系 O-xyz ,依题意,易得
A (0,-1,0), B (1,-1,0), C (1,0,0), D (0,1,0), P (0,0,1),
所以
所以异面直线 PB 与 CD 所成的角是arccos
,
(Ⅲ)假设存在点 Q ,使得它到平面 PCD 的距离为
,
由(Ⅱ)知
设平面 PCD 的法向量为 n =( x 0, y 0, z 0).
则
所以
即
,
取 x 0=1,得平面 P
CD 的一个法向量为 n =(1,1,1).
设
由
,得
解 y =-
或 y =
(舍去),
此时
,所以存在点 Q 满足题意,此时
.
略