(本小题满分12分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,则面PAD⊥底面 ABCD ,侧棱 PA = PD = ,底面 A

1个回答

  • 在Rt△ POA 中,因为 AP =

    , AO =1,所以 OP =1,

    在Rt△ PBO 中,tan∠ PBO =

    所以异面直线 PB 与 CD 所成的角是

    .

    (Ⅲ)假设存在点Q,使得它到平面PCD的距离为

    .

    设 QD = x ,则

    ,由(Ⅱ)得 CD = OB =

    在Rt△ POC 中,

    所以 PC = CD = DP ,

    由 V p-DQC=V Q-PCD, 得

    2,所以存在点 Q 满足题意,此时

    .

    解法二:(Ⅰ)同解法一.

    (Ⅱ)以 O 为坐标原点,

    的方向分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正方向,建

    立空间直角坐标系 O-xyz ,依题意,易得

    A (0,-1,0), B (1,-1,0), C (1,0,0), D (0,1,0), P (0,0,1),

    所以

    所以异面直线 PB 与 CD 所成的角是arccos

    (Ⅲ)假设存在点 Q ,使得它到平面 PCD 的距离为

    由(Ⅱ)知

    设平面 PCD 的法向量为 n =( x 0, y 0, z 0).

    所以

    取 x 0=1,得平面 P

    CD 的一个法向量为 n =(1,1,1).

    ,得

    解 y =-

    或 y =

    (舍去),

    此时

    ,所以存在点 Q 满足题意,此时

    .