Question

（2012•枣庄一模）设数列{an}满足a1=1，a2=2，对任意的n∈N*，an+2是an+1与an的等差中项．

Answer 1

解题思路：（1）根据a_n+2是a_n+1与a_n的等差中项，可得2a_n+2=a_n+1+a_n，由b_n=a_n+1-a_n，可得b_n+1=a_n+2-a_n+1=-[1/2]b_n，从而可得数列{b_n}是以1为首项，-[1/2]为公比的等比数列，可求通项公式；

（2）利用累加法可得数列{a_n}的通项公式，进而可得

c

n

＝

3

2

n(

5

3

−

a

n

)

=

n

×(−

1

2

)

n−1

，利用错位相减法可求数列{c_n}的前n项和．

（1）∵a_n+2是a_n+1与a_n的等差中项．

∴2a_n+2=a_n+1+a_n，

∵b_n=a_n+1-a_n，∴b_n+1=a_n+2-a_n+1=[1/2]（a_n+1+a_n）-a_n+1=-[1/2]b_n，

∵a₁=1，a₂=2，

∴b₁=a₂-a₁=1

∴数列{b_n}是以1为首项，-[1/2]为公比的等比数列，通项公式为b_n=(−

1

2)n−1；

（2）由（1）知，a_n+1-a_n=(−

1

2)n−1

∴a_n=a₁+（a₂-a₁）+…+（a_n-a_n-1）=1+1+…+(−

1

2)n−2=

5

3−

2

3×(−

1

2)n−1

∴cn＝

3

2n(

5

3−an)=n×(−

1

2)n−1

∴S_n=1×(−

1

2)1−1+2×(−

1

2)2−1+…+n×(−

1

2)n−1①

∴−

1

2S_n=1×(−

1

2)2−1+2×(−

1

2)3−1+…+n×(−

1

2)n②

①-②可得[3/2]S_n=1+(−

1

2)+(−

1

2)2+…+(−

1

2)

点评：

本题考点： 等差数列与等比数列的综合；数列的求和．

考点点评： 本题考查数列递推式，考查等比数列的证明与通项，考查错位相减法求数列的和，属于中档题．