Question

（2013•牡丹江一模）已知各项都不相等的等差数列{an}的前六项和为60，且a6为a1和a21的等比中项．

Answer 1

解题思路：（I）设等差数列{a_n}的公差为d，由题意建立方程组，求得d和a₁，进而根据等差数列的通项公式和求和公式分别求得a_n及前n项和S_n．

（II）根据（I）中的a_n和b₁，根据b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…（b₂-b₁）+b₁，进而求得b_n，再利用裂项法求得

{

1

b

n

}

．

（I）设等差数列{a_n}的公差为d，

则

6a1+15d＝60

a1(a1+20d)＝(a1+5d)2

解得

d＝2

a1＝5.

∴a_n=2n+3．

Sn＝

n(5+2n+3)

2＝n(n+4)

（II）由b_n+1-b_n=a_n，∴b_n-b_n-1=a_n-1（n≥2，n∈N^*）．

当n≥2时b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…（b₂-b₁）+b₁

=a_n-1+a_n-2++a₁+b₁=（n-1）（n-1+4）+3

=n（n+2）

对b₁=3也适合∴b_n=n（n+2）（n∈N^*）

∴

1

bn＝

1

n(n+2)＝

1

2(

1

n−

1

n+2)．

Tn＝

1

2(1−

1

3+

1

2−

1

4++

1

n−

1

n+2)＝

1

2(

3

2−

1

n+1−

1

n+2)

=

点评：

本题考点： 等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和．

考点点评： 本题主要考查等差数列的性质和用裂项法求和，注意由数列的性质，来确定求和的方法．