如图所示,△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ECD=90°,D为AB边上一点.

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  • 解题思路:(1)根据同角的余角相等得到∠ACE=∠BCD,又夹这个角的两边分别是两等腰直角三角形的腰,利用SAS即可证明;

    (2)根据全等三角形的对应边相等、对应角相等可以得到AE=BD,∠EAC=∠B=45°,所以△AED是直角三角形,利用勾股定理即可求出DE长度.

    (1)证明:∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,

    ∴AC=BC,EC=DC.(2分)

    ∵∠ACE=∠DCE-∠DCA,∠BCD=∠ACB-∠DCA,

    ∠ACB=∠ECD=90°,

    ∴∠ACE=∠BCD.(3分)

    在△ACE和△BCD中

    AC=BC

    ∠ACE=∠BCD

    EC=DC,

    ∴△ACE≌△BCD(SAS).(5分)

    (2)又∠BAC=45°

    ∴∠EAD=∠EAC+∠BAC=90°,

    即△EAD是直角三角形(8分)

    ∴DE=

    AE2+AD2=

    122+52=13.(10分)

    点评:

    本题考点: 勾股定理;全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形.

    考点点评: 本题第一问利用边角边定理证明三角形全等,第二问利用全等三角形对应边相等、对应角相等的性质.