这道题似乎是初中难度,但我证明时却用了正弦定理,高中知识.
证明如下：
∵ΔADE中,AE/sin∠ADE=DE/sin∠A=AD/sin∠AED
∴AE²=(AD·sin∠ADE/sin∠AED)²
∵ΔBDF中,BF/sin∠BDF=DF/sin∠B=BD/sin∠BFD
∴BF²=(BD·sin∠BDF/sin∠BFD)²
∴AE²+BF²=(AD·sin∠ADE/sin∠AED)²+(BD·sin∠BDF/sin∠BFD)²
∵∠AED+∠BFD=180° ∴sin∠AED=sin∠BFD
∵∠ADE+∠BDF=90° ∴sin²∠BDF＋sin²∠ADE=1
∴AE²+BF²=(AD·sin∠ADE/sin∠AED)²+(BD·sin∠BDF/sin∠BFD)²
=(AD/sin∠AED)²
=(AD/sin∠CED)²
∵D是AB中点 ∴AD=BD=CD
∴AE²+BF²=(CD/sin∠CED)²
∵∠EDB=∠ECB=90° ∴EDCB在同一圆上,CD/sin∠CED为外接圆直径,即EF
∴AE²+BF²=(CD/sin∠CED)²=EF²
楼主如果对正弦定理不理解,可以看看百科.看我打了这么多,符号这么难打的都写了,给分吧