Question

若a,b,c∈R,ab+bc+ac=1,abc(a+b+c)≤1/3成立么?为什么?给出理由和证明过程!

Answer 1

证明：（ab+bc+ac）^2=1,把上式展开得(ab)^2+(bc)^2+(ac)^2+2a^2bc+2ab^2c+2abc^2=1 因为(ab)^2+(bc)^2>=2ab^2c; (bc)^2+(ac)^2>=2abc^2; (ab)^2+(ac)^2>=2a^2bc;（重要不等式） 把上面的三个不等式相加可得 (ab)^2+(bc)^2+(ac)^2>=a^2bc+ab^2c+abc^2（两边是同时约掉2） 然后在上式左右两边同时加上2a^2bc+2ab^2c+2abc^2可得 (ab)^2+(bc)^2+(ac)^2+2a^2bc+2ab^2c+2abc^2>=3a^2bc+3ab^2c+3abc^2 左边很明显是为1,再在两边同时除以3,然后整理得abc(a+b+c)≤1/3；综上所述即证明.写的有点乱,见谅哈.