设滑动变阻器连入电路的电阻为r.
电路中的电流I=U/（R1+r）.
变阻器的功率P=I^2*r=U^2*r/（R1+r）^2.
求P的最大值就相当于求r/（R1+r）^2的最大值.
r/（R1+r）^2=1/（R1/r^0.5+r^0.5）^2.
就相当于求R1/r^0.5+r^0.5的最小值,R1/r^0.5+r^0.5>=2*R1^0.5,
当r=R1的时候等号成立.R1/r^0.5+r^0.5取得最小值
就是说当r=R1的时候电功率P为最大值,
这个值为P=U^2*r/（R1+r）^2=U^2*R1/（R1+R1）^2=U^2/4R1.
楼主,算这个题太累了,