如图,四边形ABCD是梯形,四边形CDEF是矩形,且平面ABCD⊥平面CDEF,∠BAD=∠CDA=90°, ,M是线段

1个回答

  • (1)详见解析;(2)所求二面角的余弦值为

    .

    试题分析:(1)要使得AC∥平面DMF,需要使得AC平行平面DMF内的一条直线.为了找这条直线,需要作一个过AC而与平面DMF相交的平面.为此,连结CE,交DF于N,连结MN,这样只要AC∥MN即可.因为N为线段DF的中点,所以只需M是线段AE的中点即可.

    (2)思路一、(综合法)首先作出它们的交线.过点D作平面DMF与平面ABCD的交线l,由于AC∥平面DMF,由线面平行的性质定理知AC∥l.为了求二面角,首先作出其平面角.作平面角第一步是过其中一个面内一点作另一个面的垂线,而要作垂线先作垂面.在本题中,由于平面

    平面

    ,所以过点M作MG⊥AD于G,因为平面ABCD⊥平面CDEF,DE⊥CD,所以DE⊥平面ABCD,则平面ADE⊥平面ABCD,所以MG⊥平面ABCD,过G作GH⊥l于H,连结MH,则直线l⊥平面MGH,所以l⊥MH,故∠MHG是平面MDF与平面ABCD所成锐二面角的平面角.在直角三角形MHG中求得可∠MHG的余弦值.(另外也可过点C作直线l的垂线)思路二、因为平面ABCD⊥平面CDEF,DE⊥CD,所以DE⊥平面ABCD,可知AD,CD,DE两两垂直,所以可分别以

    的方向为x,y,z轴,建立空间直角坐标系O-xyz.然后利用空间向量求解.

    (1)当M是线段AE的中点时,AC∥平面DMF.

    证明如下:

    连结CE,交DF于N,连结MN,

    由于M、N分别是AE、CE的中点,所以MN∥AC,

    由于MN

    平面DMF,又AC

    平面DMF,

    所以AC∥平面DMF. 4分

    (2)方法一、过点D作平面DMF与平面ABCD的交线l,由于AC∥平面DMF,可知AC∥l,

    过点M作MG⊥AD于G,

    因为平面ABCD⊥平面CDEF,DE⊥CD,

    所以DE⊥平面ABCD,则平面ADE⊥平面ABCD,

    所以MG⊥平面ABCD,

    过G作GH⊥l于H,连结MH,则直线l⊥平面MGH,所以l⊥MH,

    故∠MHG是平面MDF与平面ABCD所成锐二面角的平面角. 8分

    ,则

    ,则

    , 11分

    所以

    ,即所求二面角的余弦值为

    . 12分

    方法二、因为平面ABCD⊥平面CDEF,DE⊥CD,所以DE⊥平面ABCD,可知AD,CD,DE两两垂直,分别以

    的方向为x,y,z轴,建立空间直角坐标系O-xyz.

    ,则

    设平面MDF的法向量

    所以

    ,得平面MDF的一个法向量

    , 8分

    取平面ABCD的法向量

    , 9分

    , 11分

    故平面MDF与平面ABCD所成锐二面角的余弦值为

    . 12分