Question

已知函数y=f（x）对任意的实数x1，x2，都有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2），且当x>0时，f（x）&

Answer 1

解题思路：（1）在题中所给函数关系式中取x₂=0，化简即可计算出f（0）的值等于0；

（2）设x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，根据题中运算法则化简得f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁），结合当x＞0时f（x）＜0证出f（x₂-x₁）＜0，可得f（x₁）＞f（x₂），从而得到函数y=f（x）在区间（-∞，+∞）是减函数；

（3）根据题中运算法则化简得f（x）+f（2-3x）=f（2-2x），结合f（0）=0将不等式f（x）+f（2-3x）＜0转化为f（2-2x）＜f（0），结合函数的单调性即可解出实数x的取值范围．

（1）解令x₂=0，由f（x₁+0）=f（x₁）+f（0）

即：f（x₁）=f（x₁）+f（0），解之得f（0）=0---------------（3分）

（2）函数y=f（x）在区间 （-∞，+∞）是减函数

证明：设x₁，x₂∈R，且x₁2
则f（x₂）-f（x₁）=f[x₁+（x₂-x₁）]-f（x₁）=f（x₁）+f（x₂-x₁）-f（x₁）=f（x₂-x₁），
∵x₁2，得x₂-x₁>0．
∴由当x>0时f（x）<0，得f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁）<0
可得f（x₁）>f（x₂）
∴函数y=f（x）在区间（-∞，+∞）是减函数---------------（9分）
（3）∵f（0）=0且f（x）+f（2-3x）=f[x+（2-3x）]=f（2-2x），
∴不等式f（x）+f（2-3x）<0转化为f（2-2x）又∵f（x）在区间（-∞，+∞）是减函数
∴2-2x>0，解之得x<1，即x的取值范围为（-∞，1）---------------（12分）

点评：

本题考点： ["抽象函数及其应用","函数单调性的判断与证明"]

考点点评： 本题给出抽象函数，求特殊的函数值、讨论函数的单调，并依此解关于x的不等式．着重考查了函数的单调性、奇偶性和不等式的解法等知识，属于中档题．运用“赋值法”进行求值和化简，是解决抽象函数问题的一般方法．