解题思路：（1）根据AB为直径，则∠C=90°，由CA=CB，则∠BAC=45°，再根据旋转角等于45°，得出∠BAC′=90度，从而得出AC′是⊙O的切线；
（2）根据勾股定理或三角函数可得出答案．
（1）证明：∵AB是⊙O直径，
∴∠ACB=90°．（1分）
又∵CA=CB，
∴∠CAB=45°．（2分）
又∵∠C′AC=45°，
∴∠C′AO=90°，
即OA⊥C′A．
∴AC′是⊙O的切线．（3分）
（2）∵线段AC绕点A逆时针旋转45°得线段AC′，
∴CA=C′A=4．（4分）
在Rt△ACB中，∠CAB=45°，
∵cos∠CAB＝
AC
AB，
∴AB＝
AC
cos45°＝4
2．
∴OA=2
2．（5分）
如有其他解（证）法，请酌情给分．
点评：
本题考点： 切线的判定与性质；圆周角定理；旋转的性质；解直角三角形．
考点点评： 本题考查了切线的判定和性质，以及勾股定理，是基础知识要熟练掌握．