如图,已知BD为∠ABC的平分线,DE⊥BC于E,且AB+BC=2BE.

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  • 解题思路:(1)首先过D作DF⊥BA,垂足为F,再根据条件AB+BC=2BE可得AB+EC=BE,再证明Rt△BFD≌Rt△BED,可得FB=BE,即AB+AF=BE,进而得到AF=EC,然后再证明△AFD≌△CED可得∠DCE=∠FAD,再根据∠BAD+∠FAD=180°,可得∠BAD+∠BCD=180°;

    (2)过D作DF⊥BA,垂足为F,首先证明∠DCE=∠FAD,再证明△AFD≌△CED,可得AF=EC,然后证明Rt△BFD≌Rt△BED可得FB=BE,再根据线段的和差关系可得AB+BC=2BE.

    (1)证明:过D作DF⊥BA,垂足为F,

    ∵AB+BC=2BE,

    ∴AB=BE+BE-BC,

    AB=BE+BE-BE-EC,

    AB=BE-EC,

    AB+EC=BE,

    ∵BD为∠ABC的平分线,DE⊥BC,DF⊥BA,

    ∴DF=DE,

    在Rt△BFD和Rt△BED中

    DB=DB

    DF=DE,

    ∴Rt△BFD≌Rt△BED(HL),

    ∴FB=BE,

    ∴AB+AF=BE,

    又∵AB+EC=BE,

    ∴AF=EC,

    在△AFD和△CED中

    AF=EC

    ∠DFA=∠DEC=90°

    DF=DE,

    ∴△AFD≌△CED(SAS),

    ∴∠DCE=∠FAD,

    ∵∠BAD+∠FAD=180°,

    ∴∠BAD+∠BCD=180°;

    (2) 可以互换,结论仍然成立.理由如下:

    过D作DF⊥BA,垂足为F,

    ∵∠BAD+∠FAD=180°,∠BAD+∠BCD=180°

    ∴∠DCE=∠FAD,

    ∵BD为∠ABC的平分线,DE⊥BC,DF⊥BA,

    ∴DF=DE,

    在△AFD和△CED中

    DF=DE

    ∠FAD=∠ECD

    ∠DFA=∠DEC=90°,

    ∴△AFD≌△CED(AAS),

    ∴AF=EC,

    在Rt△BFD和Rt△BED中

    DB=DB

    DF=DE,

    ∴Rt△BFD≌Rt△BED(HL),

    ∴FB=BE,

    ∴AB+AF=BE,

    AB=BE-AF=BE-EC=BE-(BC-BE)=BE-BC+BE=2BE-BC,

    即:AB+BC=2BE.

    点评:

    本题考点: 角平分线的性质;全等三角形的判定与性质.

    考点点评: 此题主要考查了角平分线的性质,以及全等三角形的判定与性质,关键是熟练掌握角平分线上的点到线段两端点的距离相等.