Question

引三条直线分别平行三角形的三边,

Answer 1

如图,MN‖AB,PQ‖AC,RS‖BC,延长MN、QP相交于F,连接NP.过点A作AD⊥BC于D,过点B作BE⊥MN于E,则有BE=AB.因为,△BME∽△ABD ,所以,BM∶AB = BE∶AD .设 AB=x ,AC=y ,BC=z ,AD=h ,则有：BM = x²/h ；同理可得：CQ = y²/h .因为,△NMC∽△ABC ,所以,MN∶AB = MC∶BC ,可得：MN = x + x/zh ；因为,△FMQ∽△ABC ,所以,FM∶MQ = AB∶BC ,可得：FM = x + x/zh + xy²/zh ；所以,FN = FM - MN = xy²/zh .同理可得：FP = x²y/zh ；就有：FP∶FN = x∶y = AB∶AC ,而且,∠PFN = ∠BAC ,所以,△FPN∽△ABC .可得：∠FPN = ∠ABC = ∠NMQ ,于是有：∠NMQ + ∠NPQ = ∠FPN + ∠NPQ = 180°,所以,M、N、P、Q 四点共圆.同理可得：N、P、Q、R 四点共圆；Q、R、S、M 四点共圆.因为,点R 和 点M 都在 N、P、Q 确定的圆上,所以,M、N、P、Q、R 五点共圆.因为,点S 和 点N、P 都在 M、Q、R 确定的圆上,所以,M、N、P、Q、R、S 六点共圆.