∫∫ [e^-(x²+y²-π)]sin(x²+y²) dxdy
=∫∫ [e^-(r²-π)]sin(r²) rdrdθ
=e^π∫[0→2π]dθ∫[0→√π] re^(-r²)sin(r²)dr
=2πe^π∫[0→√π] re^(-r²)sin(r²)dr
=πe^π∫[0→√π] e^(-r²)sin(r²)d(r²)
令r²=u,则u：0→π
=πe^π∫[0→π] e^(-u)sinu du
下面计算：
∫[0→π] e^(-u)sinu du
=-∫[0→π] sinu d(e^(-u))
=-e^(-u)sinu + ∫[0→π] e^(-u)cosu du |[0→π]
=∫[0→π] e^(-u)cosu du
=-∫[0→π] cosu de^(-u)
=-e^(-u)cosu - ∫[0→π] e^(-u)sinu du |[0→π]
=e^(-π) + 1 - ∫[0→π] e^(-u)sinu du
将 -∫[0→π] e^(-u)sinu du移到等式左边与左边合并后,除以系数得：
∫[0→π] e^(-u)sinu du = (1/2)e^(-π) + 1/2
然后代回原积分,得：
原积分=π/2 + (π/2)e^π