Question

已知各项均正的数列{a n }的前n项和为S n ，且2S n = 1 2 （a n 2 +a n ）

Answer 1

（1）∵2S _n=

1

2 （a _n ²+a _n），2S _n+1=

1

2 （a _n+1 ²+a _n+1）

∴两式相减可得（a _n+1+a _n）（a _n+1-a _n-1）=0，

∵数列{a _n}各项均正，

∴a _n+1-a _n=1，

∴{a _n}是以1为公差的等差数列，

∵2S ₁=

1

2 （a ₁ ²+a ₁），

∴a ₁=1

∴a _n=n；

（2）b _n=

1

2 （

1

n -

1

n+2 ）

∴T _n=

1

2 (1-

1

3 +

1

2 -

1

4 +…+

1

n -

1

n+2 ) =

1

2 （ 1+

1

2 -

1

n+1 -

1

n+2 ）=

n(3n+5)

2(n+1)(n+2) ．