解题思路：（1）设方程2x2+4x-30=0的两个根为α，β，则|f（α）|≤0，从而f（α）=0，同理f（β）=0，由韦达定理能求出a和b．
（2）由f（x）=x2+2x-15，知
b
n
＝
1
2+
a
n
＝
a
n
2
a
n+1
＝
a
n
2
2
a
n+1
a
n
=
a
n+1
−
a
n
a
n+1
a
n
＝
1
a
n
−
1
a
n+1
(n∈
N
+
)
，
T
n
＝
b
1
b
2
…
b
n
＝
a
1
2
a
2
•
a
2
2
a
3
…
a
n
2
a
n+1
=
1
2
n+1
a
n−1
，（n∈N+），由此能够证明对任意n∈N+，有2n+1Tn+Sn为定值．
（3）由
a
1
＞0，
a
n+1
＝
a
n
2
/2
+
a
n
，知{an}为单调递增的正数数列，由
b
n
＝
1
2+
a
n
，n∈
N
+
，知{bn}为单调递减的正数数列，且
b
1
＝
2
5]．由此能够证明对任意正整数n，都有2[1-（[4/5]）n]≤Sn＜2．
（1）设方程2x2+4x-30=0的两个根为α，β，则|f（α）|≤0，
从而f（α）=0，同理f（β）=0，
∴f（x）=（x-α）（x-β）．
由韦达定理得a=-（α+β）=2，b=αβ=-15．
（2）证明：由（1）知f（x）=x2+2x-15，
从而2an+1=an（an+2），即an+1＝
an2
2+an(n∈N+)，
∴bn＝
1
2+an＝
an
2an+1＝
an2
2an+1an=
an+1−an
an+1an＝
1
an−
1
an+1(n∈N+)，
Tn＝b1b2…bn＝
a1
2a2•
a2
2a3…
an
2an+1=[1
2n+1an+1，（n∈N+），
Sn＝b1+b2+…+bn＝(
1
a1−
1
a2)+(
1
a2−
1
a3)+…(
1
an−
1
点评：
本题考点： 数列与函数的综合；数列的求和．
考点点评： 本题考查数列和函数的综合运用，解题时要认真审题，注意韦达定理、数列性质的合理运用．
1年前
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