设外角为∠DCG
在AB边上截取BE=BM
∵ABCD是正方形
∴BC=AB
∠B=∠DCB=∠DCG=90°
∵点E是边BC的中点
即BE=EC=1/2BC
∴BM=AM=BE=EC=1/2AB=1/2BC
∴△BME是等腰直角三角形
∴∠BME=45°
∴∠AME=135°
∵CF平分∠DCG即∠DCF=∠FCG=45°
∴∠ECF=180°-45°=135°
∴∠AME=∠ECF
∵∠AEF=90°
∴∠FEC=∠MAE(∠BAE)(同为∠ABE的余角）
在△AME和△EFC中
∠AME=∠ECF,∠FEC=∠MAE
AM=EC
∴△AME≌△EFC
∴AE=EF