椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1、F2,右顶点为A,P为椭圆C上任意一点,已

1个回答

  • [1]利用椭圆的参数方程

    设P(acosθ,bsinθ),F1(-c,0) ,F2(c,0)

    则:PF1*PF2

    =(-c-acosθ,-bsinθ)*(c-acosθ,-bsinθ)

    =(acosθ+c)(acosθ-c)+(bsinθ)^2

    =a^2cos^2(θ)-c^2+b^2[1-cos^2(θ)]

    =(a^2-b^2)cos^2(θ)+(b^2-c^2)

    则当cos^2(θ)=1时,PF1*PF2取最大值=a^2-c^2=3

    当cos^2(θ)=0时,PF1*PF2取最小值=b^2-c^2=2

    联立a^2=b^2+c^2得:a^2=4,b^2=3

    则椭圆C:x^2/4+y^2/3=1

    [2]证明:直线L过定点(2/7,0)

    设M(x1,y1)N(x2,y2)

    则以MN为直径的圆方程:

    (x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0

    由于C的右顶点A(2,0)在圆上

    则:(2-x1)(2-x2)+y1y2=0

    x1x2+4-2(x1+x2)+y1y2=0 -----(1)

    由于M,N在直线L上

    则:y1=kx1+m,y2=kx2+m

    代入(1)得:

    x1x2+4-2(x1+x2)+(kx1+m)(kx2+m)=0

    (1+k^2)x1x2+(mk-2)(x1+x2)+(m^2+4)=0 ----(2)

    L与C联立得:

    3x^2+4(kx+m)^2=12

    (3+4k^2)x^2+8kmx+4m^2-12=0

    则:x1+x2=-8km/(3+4k^2),x1x2=(4m^2-12)/(3+4k^2)

    代入(2)得:

    [(1+k^2)(4m^2-12)]/(3+4k^2)+[(mk-2)(-8km)]/(3+4k^2)+m^2+4=0

    整理得:

    4k^2+16km+7m^2=0

    (2k+m)(2k+7m)=0

    则:m=-2k 或 m=-2k/7

    又因为m=-2k时,L:y=kx+m=k(x-2)恒过C的右顶点A(2,0)

    同时已知L与C交点M、N不是左右顶点

    故m=-2k舍去

    则:m=-2k/7

    L:y=kx-2k/7=k(x-2/7)

    即直线L过定点(2/7,0)