Question

在数列中,如果存在非零常数T,使得a(n+t)=an对于一切n∈N*都成立

Answer 1

若T=1,则x(2)=x(1),a=1,但这时x(3)=|x(2)-x(1)|=0,所以不可能有T=1.

若T=2,则x(3)=x(1),|a-1|=1,又已知a≠0,所以a=2.但这时x(4)=|x(3)-x(2)|=1≠x(2)=2,所以不可能有T=2.

若T=3,则x(4)=x(1),||a-1|-a|=1,

(1).|a-1|-a=1,|a-1|=a+1,无非零解,

(2).|a-1|-a=-1,|a-1|=a-1,a为任何不小于1的实数.

这时,x(1)=1,x(2)=a,x(3)=a-1,x(4)=1,x(5)=|2-a|=x(2)=a,解得a=1.

这时x(1)=1,x(2)=1,x(3)=0,x(4)=1,x(5)=1,x(6)=0,...确是周期数列,所以最小周期T=3.

数列前2006项的和是669*2=1338.