Question

如图，Rt△ABC的两直角边AC边长为4，BC边长为3，它的内切圆为⊙O，⊙O与边AB、BC、AC分别相切于点D、E、F

Answer 1

（1）设⊙O的半径为r，由已知OD⊥AB，OF⊥AC，且OD=OF，

则Rt△OAD≌Rt△OAF，

所以AD=AF，

同理，BD=BE，CE=CF，

又∠ACB=90°，

则四边形OECF为正方形，得CE=CF=r，

在△ABC中，由AC=4，BC=3得AB=5，

由AF+BE=AB，即（4-r）+（3-r）=5得r=1，

所以⊙O的半径长为1；

（2）延长AC到点H，使CH=BC=3，∠ACB=90°，得∠CHB=45°，

又CG是ACB的平分线，则∠ACG=45°，

从而∠ACG=∠CHB，

所以△ACG∽△AHB，

得

，

AG=

×5=

，

又AD=AF=AC-FC=3，

所以DG=AD-DG=3-

=

。