Question

已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d=1，前n项和为Sn，bn＝1Sn，

Answer 1

解题思路：（1）等差数列{a_n}中a₁=1，公差d=1，由

b

n

＝

1

S

n

能求出数列{b_n}的通项公式．

（2）由

b

n

＝

2

n

2

+n

＝

2

n(n+1)

，能证明b₁+b₂+…+b_n＜2．

（1）∵等差数列{a_n}中a₁=1，公差d=1

∴Sn＝na1+

n(n−1)

2d＝

n2+n

2

∴bn＝

2

n2+n…（4分）

（2）∵bn＝

2

n2+n＝

2

n(n+1)…（6分）

∴b1+b2+b3+…+bn＝2(

1

1×2+

1

2×3+

1

3×4+…+

1

n(n+1))

=2(1−

1

2+

1

2−

1

3+

1

3−

1

4+…+

1

n−

1

n+1)…（8分）

=2(1−

1

n+1)…（11分）

∵n＞0，

∴0＜

1

n+1＜1

∴0＜2(1−

1

n+1)＜2

∴b₁+b₂+…+b_n＜2．…（14分）

点评：

本题考点： 数列与不等式的综合；等差数列的前n项和；数列的求和．

考点点评： 本题考查数列的通项公式的求法和前n项和的证明，是基础题．解题时要认真审题，注意等差数列前n项和公式的应用和裂项求和法的灵活运用．