如果是简单的数列,有简单的表达式,很容易判断.如果数列有极限,直接计算极限就可以.像你举得例子a_n=n/n+1,当n趋近无穷大时,a_n显然趋近于1.复杂一点的表达式,只要是初等函数,可以用洛比达法则、泰勒展开等微积分方法求极限.
关键是怎样判断数列没有极限.
根据柯西原理,对于一个数列{a_n},如果存在一个正数e>0,对于任意自然数N,都找得到两个大于N的自然数m,n>N,并满足|a_m - a_n|>e,这就说明了数列无极限.
例：a_n=sin(n)
因为对于任意N,取n=[pi*N]+1,m=[pi*N]-1,pi=3.14159...,[]表示一个数的整数部分
|sin(n)-sin(m)|=|2cos(pi*N)sin(1)|=2sin(1)>0