Question

如图，P为正方形ABCD边BC上一点，F在AP上，AF=AD，EF⊥AP于F交CD于点E，G为CB延长线上一点，且BG=

Answer 1

解题思路：（1）连接AE，由正方形的性质及其条件可以得出△ABG≌△ADE，就有∠BAG=∠DAE，再证明Rt△AFE≌Rt△ADE就可以得出结论；

（2）由条件可以得出∠GAP=∠BAE，进而可以得出∠GAP=∠BGA，在Rt△ABP中，由勾股定理就可以得出结论．

（1）证明：连接AE

∵正方形ABCD，

∴AB=AD，∠ABG=∠ADC=90°．

在△ABG和△ADE中

AB＝AD

∠ABG＝∠ADC

BG＝DE

∴△ABG≌△ADE（SAS），

∴∠BAG=∠DAE．

在Rt△AFE和Rt△ADE中，

AF＝AD

AE＝AE，

∴Rt△AFE≌Rt△ADE（HL），

∴∠DAE=∠FAE，

∴∠BAG＝∠DAE＝

1

2∠DAP；

（2）∵∠BAG=∠DAE=∠FAE，

∴∠BAG+∠BAP=∠FAE+∠BAP，

∴∠GAP=∠BAE．

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB∥CD，

∴∠BAE=∠DEA，

∴∠GAP=∠DEA．

∵△ABG≌△ADE，

∴∠BGA=∠DEA，BG=DE，

∴∠GAP=∠BGA，

∴AP=GP

设AP=x，则GP=x，BP=GP-BG=x-3

在Rt△BAP中AB²+BP²=AP²，

∴5²+（x-3）²=x²，

解得：x＝

17

3，

答：AP的长为[17/3]．

点评：

本题考点： 正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．

考点点评： 本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，勾股定理的运用，等腰三角形的判定与性质的运用，解答时运用勾股定理求值和证明三角形全等是关键．