求不定积分:(x-5)dx/(x^3-3x^2+4)

2个回答

  • x^3-3x^2+4=(x+1)(x^2-4x+4)=(x+1)(x-2)^2

    用有理函数的方法

    所以(x-5)/(x^3-3x^2+4)=A/(x+1)+B/(x-2)+C/(x-2)^2

    两边同乘(x^3-3x^2+4)

    得到

    x-5=A(x-2)^2+B(x+1)(x-2)+C(x+1)

    对于任意x都成立

    令x=2

    -3=3C,C=-1

    令x=-1

    -6=9A,A=-2/3

    令x=0

    -5=4A-2B+C

    B=(5-8/3-1)/2=2/3

    所以

    (x-5)/(x^3-3x^2+4)=(-2/3)/(x+1)+(2/3)/(x-2)-1/(x-2)^2

    然后分开积分

    ∫(x-5)/(x^3-3x^2+4)=-2/3 ln|x+1|+2/3 ln|x-2|+1/(x-2)+C

    =(2/3)ln|(x-2)/(x+1)|+1/(x-2)+C